Задачи на работу формула

Урок 69. задачи на совместную работу – Математика – 5 класс – Российская электронная школа

Задачи на работу формула

Математика

5 класс

Урок № 69

Задачи на совместную работу

Перечень рассматриваемых вопросов:

– введение понятий производительность, общая производительность, время работы;

– алгоритм решения задач на совместную работу арифметическим способом;

– отработка применения алгоритма при решении задач.

Тезаурус

Производительность (Р) – объём работы, выполняемый за единицу времени.

Время работы (Т) – время выполнения всей работы.

Общая производительность – объём работы, выполняемый совместно всеми работниками за единицу времени.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 классы. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы научились выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями. Сегодня мы рассмотрим, как с помощью обыкновенных дробей решать задачи на совместное выполнение некоторой работы.

Под совместной работой можно понимать абсолютно любое действие: и одновременный поток воды из двух труб при наполнении бассейна, и изготовление деталей двумя рабочими, и вспашку поля несколькими тракторами, и набор текста на компьютере.

Всюработу мы будем принимать за единицу. А объём выполненной работы выражать как часть этой единицы.

Если какая-то работа выполняется за шесть часов, то за час выполняется одна шестая часть этой работы.

Объём работы, выполненный за единицу времени, называется производительностью. Она обозначается как Р.

Рассмотрим задачу.

Первый столяр может выполнить заказ за 36 часов, а второй – за 18 часов. За сколько часов этот заказ выполнят оба столяра, работая вместе?

Вся работа – 1

1-й столяр – 36 ч

2-й столяр – 18 ч

1-й и 2-й столяр – ? ч

(первый столяр за один час, или производительность Р1 первого столяра)

(второй столяр за один час, или производительность Р2 второго столяра)

(оба столяра за один час, или общая производительность Р)

(время выполнения всей работы совместно)

Ответ: за 12 ч.

Рассмотрим следующую задачу.

Одна труба заполняет бассейн за 60 минут, а вторая – за 20 минут. За сколько минут заполнится бассейн при включении обеих труб?

Вся работа – 1

1-я труба – 60 минут

2-я труба – 20 минут

Обе трубы – ?

часть бассейна (наполняет первая труба за одну минуту, или производительность Р1)

часть бассейна (наполняет вторая труба за одну минуту, или производительность Р2)

часть бассейна (заполняют обе трубы, работая вместе, или общая производительность Р)

минут (время заполнения бассейна двумя трубами)

Ответ: за 15 минут.

Рассмотрим задачу, в которой, зная время выполнения работы совместно, надо найти время работы одного из участников.

Работая вместе, два мастера Гжели выполняют заказ за шесть дней. Первый мастер, работая один, может выполнить этот заказ за 10 дней. За сколько дней этот заказ может выполнить второй мастер?

Вся работа – 1

1-й и 2-й мастер – 6 дней

1-й мастер – 10 дней

2-й мастер – ? дней

часть заказа (первый и второй мастера за один день, или общая производительность Р)

часть заказа (первый мастер за один день, или производительность Р1)

часть заказа (выполнит второй мастер за один день, или производительность Р2)

дней – время выполнения заказа вторым мастером

Ответ: за 15 дней.

Алгоритм решения задач на совместную работу

Т1 – время, за которое первый объект самостоятельно выполнит всю работу;

Т2 – время, за которое второй объект самостоятельно выполнит всю работу.

  1. Всю выполненную работа принимаем за единицу.
  2. Находим часть работы, выполненную первым объектом за единицу времени (производительность Р1 = 1 ꞉ Т1).
  3. Находим часть работы, выполненную вторым объектом за единицу времени (производительность Р2 = 1 ꞉ Т2).
  4. Находим часть работы, выполненную двумя (или более) объектами за единицу времени (общая производительность Р = Р1 + Р2).
  5. Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми объектами (Т = 1 ꞉ Р).

Тренировочные задания

№ 1. Путешественник планирует пройти маршрут за семь дней. Какую часть маршрута он пройдёт за один день? За три дня? За пять дней? Какая часть маршрута останется не пройденной за эти же промежутки времени? Используйте следующие значения ; ; ; ; .

За 1 день

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 3 дня

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 5 дней

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

Пройденная часть маршрута за день – это производительность путешественника. И находится она так же, как и другая производительность. Найдём часть маршрута, пройденную за один день:

Очевидно, что за три дня путешественник пройдет в три раза больше, чем за день. Рассчитаем эту часть пути:

Чтобы найти оставшуюся часть маршрута, надо из всего маршрута, то есть единицы, вычесть пройденную часть. Найдём, например, какую часть маршрута осталось пройти через три дня: .

Аналогично действуем и в остальных случаях.

Правильный ответ:

За 1 день

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 3 дня

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 5 дней

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

№ 2. Подберите к каждому действию правильное пояснение.

Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?

Пояснения к действиям:

  • Время выполнения всей работы вторым трактористом;
  • Общая производительность обоих трактористов;
  • Часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за один час.

Действия:

Рассмотрим первое действие. Единица делится на шесть, где единица – это вся работа, а шесть – время совместной работы. Значит, этим действием мы находим общую производительность обоих тракторов.

Во втором действии из общей производительности вычитаем . Так как первый тракторист выполняет работу за 10 часов, то – это производительность первого тракториста. Значит, мы находим производительность второго тракториста, то есть объём работы, который он выполнил за один час.

В третьем действии единица (вся работа) делится на производительность второго тракториста: таким образом, мы находим время выполнения всей работы вторым трактористом.

Правильный ответ:

– это общая производительность обоих трактористов.

– это часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за 1 ч.

ч – это время выполнения всей работы вторым трактористом.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7763/conspect/

Математика: Задачи на работу и производительность

Задачи на работу формула

Задачи на работу и производительность В определенном смысле задачи на работу схожи с задачам на движение. Сравните формулы: S = vt, V = vt. Роль скорости v здесь играет производительность труда, а роль расстояния S — объем работы V.Задачи на совместную работуДля понимания схемы решения задач на совместную работу, рассмотрим упрощенную модель.

Пример 1.Вася с Колей мастерят из бумаги кораблики. Вася может сделать за 1 час 15 корабликов, а Коля только 10. Сколько времени им потребуется на 100 корабликов?Решение:За 1 час мальчики делают 15 + 10 = 25 корабликов. Значит, 100 корабликов они сделают за 100 : 25 = 4 часа.

Итак, если дан общий объем работы и производительности труда «участников» задачи, то время совместной работы находят, разделив объем работы на совместную производительность труда: . (1)Пример 2.Вася выполняет свою работу за 2 часа, а Коля — за 3 часа.

Сколько времени они потратят, если будут делать эту работу вдвоем?Решение:Скорость работы каждого из мальчиков: подставим в формулу (1): или .Поэтому, когда в задаче объем работы в явном виде не задан, его иногда удобно принять равным единице.В нашей задаче (ч).

Иногда в задачах на совместную работу можно обойтись без решения уравнений, используя только арифметический способ. Правда, для этого порой приходится прибегать к гипотетическим допущениям. Рассмотрим такой пример.Пример 3.Маша и Даша за день могут прополоть 3 грядки, Даша и Глаша — 4 грядки, а Глаша и Маша — 5 грядок.

Спрашивается, сколько грядок за день смогут прополоть девочки, работая втроем?Решение:Вообразим, что сначала Маша и Даша работали один день, затем Даша и Глаша работали один день, а потом Глаша и Маша работали еще один день.

Получается, что каждая из девочек работала два дня или что бригада, состоящая из Маши, Глаши и Даши, прополола 3 + 4 + 5 = 12 грядок за два дня. Значит, за один день эта бригада прополет вдвое меньше грядок, т.е. 6.Эту же задачу можно решить «нашим» способом, с помощью уравнений.Обозначим и подставим в систему:Тогда втроем они выполнят работу за .

Из последнего уравнения видим, что единица объема работы равна 6.Ответ: 6.Пример 4.Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?Решение:Составим для удобства таблицу:

V (объем работы)v (производительность)t (время работы)
1-й рабочийV15
2-й рабочийV15
1-й рабочий3
Вместе

Учитывая, что 1-й рабочий проработал 3 часа, а вместе работу доделали за 6 часов. Общее время работы 3 + 6 = 9 часов.Ответ: 9.Задачи на бассейныИногда в задачах на работу выделяют группу задач на трубы и бассейны, решение которых, вообще говоря, не имеет никаких специфических черт по сравнению с другими задачами на совместную работу. Математическая модель остается той же. Только рабочим будут соответствовать насосы разной производительности, а объему работы — объем бассейна или иного резервуара.Пример 5.Первая труба пропускает 15 литров воды в минуту, а вторая — 10. За сколько минут обе трубы наполнят бассейн, объемом 100 литров?Решение:Через 1 минуту из 1-й трубы нальется 15 литров, а из второй — 10. Значит, за минуту обе трубы наливают 15 + 10 = 25 литров. Тогда бассейн в 100 литров они наполнят за время 100 : 25 = 4 минуты.Итак, если дан объем резервуара и производительности работы труб (насосов), то время их совместной работы находят, разделив объем резервуара на совместную производительность труб:.Если в задаче объем резервуара в явном виде не задан, его иногда удобно принять равным единице: или .Пример 6.Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак, объемом 360 литров она заполняет на 10 минут медленнее, чем вторая труба?Решение:Составим для удобства таблицу:

Vvt
1-я труба360v – 6
2-я труба360v

На 10 минут разница означает равенство:v2 – 6v – 216 = 0; v1 = -12 — не удовлетворяет условию, v2 = 18.В задаче спрашивается скорость работы первой трубы, т.е. 18 – 6 = 12 часов.Ответ: 12.Тренировочные задачиПример 7.Двое рабочих выполнили работу за два дня. Если бы первый рабочий проработал 2 дня, а второй 1 день, то они вместе выполнили бы всей работы. За сколько дней выполнит эту работу первый рабочий?Решение:

V (объем работы)v (производительность)t (время работы)
ВместеV = 1х + у
1-й рабочийх2
2-й рабочийу1

Обозначим всю работу за 1, производительность первого рабочего за х, а производительность второго рабочего за у. Тогда, совместная производительность равна х + у. А на выполнение всей работы им потребуется 1/(х +у) дней, по условию: . За два дня первый рабочий сделает 2х, а второй рабочий — 1у, всего они выполнят 2х + у = 5/6. Получили систему: . Решая эту систему, найдем производительности рабочих: . Тогда время, которое затратит первый рабочий на выполнение всей работы равно: дня.Ответ: 3.Пример 8.Ученик прочел книгу в 480 страниц, ежедневно читая одинаковое количество страниц. Если бы он читал каждый день на 16 страниц больше, то прочел бы книгу на 5 дней раньше. Сколько дней ученик читал книгу?Решение:Пусть ученик читал в день x страниц. Тогда он прочитал книгу за дней. Если бы он читал x + 16 страниц в день, то он прочитал бы книгу за дней, что на 5 дней меньше. Получаем уравнение: .Решая его, находим, что ученик в день читал x=32 страницы и прочитал книгу за 15 дней.Ответ: 15.Пример 9.Двое рабочих выполнили работу менее, чем за 4 часа. Если бы первый выполнял ее в одночку, он сделал бы работу на 6 часов быстрее, чем второй. Какие значения может принимать время выполнения работы первым из рабочих, работающим отдельно?Решение.Обозначим всю работу за 1, производительность первого рабочего за х, а производительность второго рабочего за у. Тогда, совместная производительность равна х + у. А на выполнение всей работы им потребуется дней, по условию: . Время, за которое может выполнить работу первый рабочий выражается: , а время второго: . По условию: .Итак, получили систему: .Так как производительность — величина положительная, то неравенства в системе равносильно следующему: 4x + 4y > 1. Выразим x из уравнения и подставим в неравенство: . Решая это неравенство, получаем: или . Условию соответствует первое неравенство. Следовательно, .Ответ: время выполнения работы первым из рабочих, работающим отдельно, может принимать значения, не большие 4.Список используемой литературы лекция «Задачи на работу и производительность»:

Перейти к выполнению теста: Тест. Задачи на работу и производительность

Источник: http://matznanie.ru/xbookM0001/book/part-047/page.htm

Задания №11. Задачи на работу

Задачи на работу формула

Елена Репина 2013-10-25 2015-09-04

Давайте разберем текстовые задачи на работу.

Нам пригодится формула , где – скорость работы, – время работы, – работа.

Смотрите также другие типы Задач №11 ЕГЭ по математике:
1 (на среднюю скорость), 2 (на движение по окружности), 3 (движение по воде), 5 (на движение по прямой), 6 (на прогрессии), 7 (на смеси и сплавы).

Возможно, при решении задач вы столкнетесь с громоздким дискриминантом… Что делать в таком случае  смотрите здесь и здесь.

Задание 1

Заказ на 130 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 3 детали больше?

Решение:

+ показать

Пусть дет/час – скорость работы первого рабочего. Тогда дет/час – скорость второго рабочего.

Работа – это выполненные 130 деталей.

Заполняем таблицу. Первые две колонки – согласно условию задачи, третью – автоматически (по формуле ).

Поскольку первый рабочий выполняет  работу на 3 часа быстрее, чем второй, то составим уравнение:

Как бы не казалось очевидным составленное уравнение, многие путаются… Чуть ли не наугад эту тройку прибавляют к какой-нибудь дроби…

На самом деле все просто. Дробь по условию меньше дроби на 3! Значит, если к ней прибавить 3, то она сравняется с дробью . Можно бы было поступить иначе. Отнять от большей дроби 3 и приравнять разность к меньшей дроби. 

В конце концов, мы знаем, что из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, чей знаменатель меньше.

Итак, домножаем обе части равенства на

Откуда вытекает, что ( не подходит по условию задачи).

Ответ: 13.

Задание 2

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 5 дней выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня?

Решение:

+ показать

Так как двое рабочих выполняют работу (принимаем ее за 1) за 9 дней, то их совместная производительность – .

Пусть – дни, необходимые первому рабочему на выполнение всей работы.

Тогда скорость работы (производительность) первого рабочего –

За 5 дней первый рабочий выполнит часть работы.

А поскольку и второй за 3 дня выполнит такую же часть работы, то производительность второго рабочего –

Итак, скорость работы первого рабочего – второго – , совместная скорость работы – .

Тогда

Ответ: 24.

Задание 3

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 165 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба? 

Решение:

+ показать

Пусть вторая труба пропускает литров воды в минуту. Тогда согласно условию первая труба пропускает л/мин.

Заполняем таблицу:

Время заполнения первой трубой резервуара на 4 минуты дольше по сравнению со второй трубой, то есть  больше   на 4.

Поэтому

Откуда следует, что “Это производительность второй трубы.

А производительность первой тогда литров в минуту.

Ответ: 11.

Задание 4

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 156 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 143 литра?

Решение:

+ показать

Задача предельно похожа на предыдущую.

Откуда вытекает, что

Первая труба пропускает 12 литров в минуту.

Ответ: 12.

Задание 5

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 12 часов. Через 4 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? 

Решение:

+ показать

В этой задаче и не требуется вводить переменную. Она буквально выполняется по действиям.

Давайте проследим как заполнялась таблица.

1) В данном случае работа для нас абстрактна. Мы не можем ее измерить в страницах, деталях, литрах и т.п. В таких случаях обозначают работу за 1 (можно было бы и за обозначить).

2) Производительность обоих рабочих – часть работы в час.

3) Раз первый рабочий работал 4 часа с производительностью , то он выполнил   часть работы.

4) Оставшаяся часть работы – .

5) При совместной работе производительности складываются. Поэтому вдвоем рабочие работают со скоростью часть работы в час.

6) Время работы находим по формуле . Получаем: часа.

Наконец, на выполнение всего заказа потребуется часов.

Ответ: 8.

Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Источник: https://egemaximum.ru/13-zadachi-na-rabotu/

Решение задач на работу

Задачи на работу формула

Остается найти время. По формуле A=t⋅pA=t\cdot pA=t⋅p получаем, что время работы Ровшана равно 208x+3\frac{208}{x+3}x+3208​, а время работы Джамшута — 208x\frac{208}{x}x208​.

В итоге получим следующую таблицу:

Рабочий AAA ttt ppp
Ровшан 208208208 t1=208x+3t_1=\frac{208}{x+3}t1​=x+3208​ x+3x+3x+3
Джамшут 208208208 t2=208xt_2=\frac{208}{x}t2​=x208​ xxx

Какие данные из условия еще не нашли отражения в таблице?

Мы еще никак не использовали условие, что Ровшан выполняет заказ на 333 часа быстрее. Это можно записать как t1=t2−3t_1=t_2-3t1​=t2​−3.

Если мы подставим вместо t1t_1t1​ и t2t_2t2​ их значения из таблицы, то получим уравнение, которое надо будет решить:

208x+3=208x−3.\frac{208}{x+3}=\frac{208}{x}-3.x+3208​=x208​−3.

Это рациональное уравнение. Чтобы свести его к квадратному уравнению, умножим обе части равенства на xxx и на x+3x+3x+3:

208x=208(x+3)−3x(x+3);208x=208(x+3)-3x(x+3);208x=208(x+3)−3x(x+3);

0=208⋅3−3x(x+3);0=208\cdot 3-3x(x+3);0=208⋅3−3x(x+3);

Сократим все на 333, чтобы коэффициенты были не такие страшные:

0=208−x(x+3);0=208-x(x+3);0=208−x(x+3);

x2+3x−208=0.x2+3x-208=0.x2+3x−208=0.

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D=9+4⋅208=841=292;D=9+4\cdot 208=841=292;D=9+4⋅208=841=292;

x1=−3−292=−16,x2=−3+292=13.x_1=\frac{-3-29}{2}=-16,\,\,x_2=\frac{-3+29}{2}=13.x1​=2−3−29​=−16,x2​=2−3+29​=13.

Если дискриминант положительный, квадратное уравнение имеет два корня, но нам нужен только один ответ! Мы выберем положительный корень, поскольку производительность не может быть выражена отрицательным числом.

Вспомним, что через xxx мы обозначили производительность Джамшута, и это именно то, что требуется найти в задаче.

Получаем ответ: производительность Джамшута равна 131313 плиток в час.

Разберем еще одну задачу.

Условие

Хоббиты Мерри и Пиппин, работая вместе, могут вырыть нору за 666 дней. За сколько дней, работая отдельно, выроет нору Мерри, если он за 111 день выполняет такую же часть работы, какую Пиппин — за 222 дня?

Решение

В этой задаче единица измерения объема работы — это вырытая нора. Поэтому весь объем работы равен одному. В некоторых задачах вообще не говорится, в чем состоит работа.

Если объем работы не указан, примите его за единицу.

Время будет выражено в днях, а производительность труда — это количество работы в день (оно для каждого хоббита получится меньше единицы, поскольку за день каждый из них может выполнить только часть работы).

Как и в предыдущей задаче, в качестве переменной xxx выберем производительность труда одного из рабочих: производительность Мерри.

При этом заметим, что нас просят найти величину, обратную производительности, то есть 1x\frac{1}{x}x1​ (количество дней, за которое вся работа может быть выполнена).

Заполним таблицу:

Рабочий AAA ttt ppp
Мерри
Пиппин

Объем работы равен 111 для каждого хоббита.

Производительность Мерри равна xxx, а Пиппина в 222 раза меньше: x2\frac{x}{2}2x​ (поскольку Мерри выполняет за день такую же часть работы, которую Пиппин — за 222 дня).

Время на выполнение работы равно 1x\frac{1}{x}x1​ для Мерри и 2x\frac{2}{x}x2​ для Пиппина.

Чтобы учесть условие задачи, по которому хоббиты вместе выполняют работу за 666 дней, добавим еще одну строку внизу таблицы. В ней мы укажем время и производительность двух хоббитов вместе.

Укажем в этой строке объем работы A=1A=1A=1 и производительность труда, равную сумме производительностей труда хоббитов: x+x2=32xx+\frac{x}{2}=\frac{3}{2} xx+2x​=23​x. Время выразим с помощью формулы A=p⋅tA=p \cdot tA=p⋅t. Тогда время равно 23x\frac{2}{3x}3×2​.

В результате таблица примет вид:

Рабочий AAA ttt ppp
Мерри 111 1x\frac{1}{x}x1​ xxx
Пиппин 111 2x\frac{2}{x}x2​ x2\frac{x}{2}2x​
Мерри и Пиппин 111 23x\frac{2}{3x}3×2​ 32x\frac{3}{2} x23​x

Поскольку по условию время работы двух хоббитов равно 666, получим уравнение: 23x=6.\frac{2}{3x}=6.3×2​=6.

Это рациональное уравнение, которое сводится к простому линейному уравнению. Умножим на xxx обе части уравнения:

23=6x\frac{2}{3}=6×32​=6x;

x=19x=\frac{1}{9}x=91​.

Зная производительность труда Мерри, мы можем найти ответ в задаче: он сам справится с работой за 999 дней.

Теперь самое время потренироваться решать задачи самостоятельно. Напомним общий план решения:
  1. Выбрать переменную (обычно производительность)
  2. Заполнить табличку (A,t,p)(A,t,p)(A,t,p) для каждого из рабочих (или для каждой из труб в задачах про трубы), используя формулу A=t⋅pA=t\cdot pA=t⋅p
  3. Переписать условие в виде уравнения
  4. Привести полученное уравнение к виду квадратного или линейного уравнения
  5. Решить уравнение и отобрать подходящий по смыслу корень (если их два)
  6. Найти ответ в задаче (если нужно найти не производительность, а другую величину)

Вернемся к примерам из начала статьи.

Источник: https://lampa.io/p/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87-%D0%BD%D0%B0-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%83-0000000025efaf18b48ad05bef603eb9

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.