Задачи на производительность таблица

Задачи на работу: подробный разбор

Задачи на производительность таблица

Еще одним классическим примером текстовых задач, которые могут встретиться в 11 задании профильного ЕГЭ, — это задачи на работу. Это всевозможные задачи про рабочих, которые делают детали, про трубы, которые наполняют бассейны, а также про совместную работу.

Научиться решать такие задачи довольно просто, главное – выучить одну единственную формулу, знать основные правила решения задач этого типа  и следовать трем простым шагам.

Формула, которую обязан знать каждый

Формула, без которой не получится решить не одну задачу на работу:Работа – это, по сути, объем выполненной работы, например, количество изготовленных деталей или количество построенных домов.

Время – это время, за которое выполняется заданный объем работы.

Производительность – это, по сути, скорость выполнения заданного объема работы за определенное время. Например, рабочий делает 10 деталей в час – это и есть его производительность.

Из данной формулы нужно уметь выражать производительность и время:

Как решать задачи на работу: основные правила

При решении задач на работу нужно знать следующие правила:

  1. Если работу выполняют двое рабочих, то их производительности складываются
  2. Если объем работы в задаче не задан и нет данных, позволяющих его найти, и при этом объем работы не важен для решения задачи, то работа принимается за единицу.
  3. За переменную Х, как правило, удобнее всего брать производительность

Решение задачи на работу: 3 простых шага

Решение задачи на работу сводится к трем шагам:

  1. Задаем переменную Х и составляем таблицу
  2. Составляем уравнение на основании таблицы и условий задачи, решаем его
  3. Возвращаемся к условиям задачи, вспоминаем, что требовалось найти и находим ответ

Не забывайте про третий шаг, так как часто ученики, верно решив уравнение, сразу записывают ответ к задаче, забывая о том, что требовалось найти по условиям задачи. И по сути правильная решенная задача не получает заслуженного балла.

Задача 1

Первый рабочий выполняет заказ из 120 деталей на 2 часа быстрее, чем второй. Также известно, что первый рабочий делает на 3 детали в час больше, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий?

Решение:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Производительность первого рабочего примем за Х. Тогда производительность второго рабочего будет х — 3, так как второй рабочий делает на 3 детали в час меньше первого.

Время выполнения всей работы получаем путем деления всей работы на производительность.2. Также из условий задачи нам известно, что всю работу (120 деталей) первый рабочий выполняет быстрее, чем второй на 2 часа.

Следовательно, получаем следующее равенство:Решаем полученное уравнение. Для этого приводим все дроби к общему знаменателю:

120 (х- 3) + 2х (х-3) = 120х

120х – 360 + 2х2 – 6х – 120х =0

2х2 – 6х – 360 = 0

Делим обе части уравнения на 2:

х2 – 3х – 180 = 0

D = 729

х1 =  15

х2 = -12

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно было найти, сколько деталей изготавливает первый рабочий. Именно эту величину мы обозначали за Х. Х2 нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первый рабочий изготавливает 15 деталей в час.

Ответ: 15 деталей в час

Задача 2

Первая труба наполняет резервуар объемом 180 литров, а вторая труба наполняет резервуар объемом 120 литра. При этом известно, что одна из труб  пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем другая. Необходимо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуары наполняются одновременно.

Решение:

1. На основании условия задачи составляем таблицу. Производительность первой трубы, то есть сколько воды она пропускает в минуту, обозначим за Х. Тогда производительность второй трубы будет либо на 1 литр в минуту больше, либо на 1 литр в минуту меньше. Это мы можем обозначить, как х ± 1. Время рассчитываем по формуле и заносим в таблицу:

2. Из условий задачи нам известно, что обе трубы выполняют свою работу за одинаковое количество времени. Следовательно, время работы первой и второй трубы мы можем приравнять, тогда получим: Теперь решаем два уравнения:Решаем первое уравнение:

180/х = 120/ (х -1)

180 (х-1) = 120х

180х – 120х = 180

60х = 180

х1 = 3

Решаем второе уравнение:

180/х = 120/ (х +1)

180 (х+1) = 120х

180х – 120х = -180

60х = -180

х2 = -3

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба. Именно это – производительность первой трубы мы и обозначали за Х. Х2 нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 3 литра в минуту.

Ответ: 3 литра в минуту

Задача 3

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Определить сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если известно, что бассейн объемом 300 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая.

Решение:

1. На основании условий задачи составляем таблицу. Производительность второй трубы обозначим за Х. Тогда производительность первой трубы Х – 5, так как она пропускает на 5 литров воды в минуту меньше. Объем бассейна (это объем работы труб) равен 300 литрам. Время работы труб определяем по формуле и заносим в таблицу:

2. Из условий задачи известно, что первая труба заполняет бассейн на три минуты дольше, чем вторая труба. Следовательно:Решаем полученное уравнение:

300х – 3х (х-5) = 300 (х — 5)

300х – 3х2 + 15х – 300х + 1500 = 0

-3х2 + 15х + 1500 = 0

Делим обе части уравнения на -3:

х2 — 5х — 500 = 0

Находим дискриминант:

D = 2025

х1 = 25

х2 = -20

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти производительность первой трубы, которую мы обозначили, как (х – 5).

Подставляем полученное значение Х:

Подставляем х1: 25 – 5 = 20

Подставляем х2: -20 – 5 = -25

Второй результат нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первой трубы равна 20 литров в минуту.

Ответ: 20 литров в минуту.

Задача 4

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 часов. За сколько часов, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 часа выполняет такую же часть работы, какую второй — за 5 часов.

Решение. Способ 1:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Так как общий объем работы нам не дан в задачи, то принимаем его за единицу. Этот объем работы двое рабочих выполняют за 15 часов, следовательно, их производительность труда равна 1/15.

Обозначим за Х время, которое потребуется первому рабочему для выполнения всей работы. Тогда его производительность будет равна 1/х. Следовательно, за 4 часа первый рабочий выполнит 4 * 1/х= 4/х части работы.

Эту же часть работы 4/х второй рабочий может выполнить за 5 часов, следовательно, его производительность труда равна 4/х / 5 =4/5х. Заносим полученные данные в таблицу:

2. Итак, мы получили, что производительность труда первого рабочего 1/х, производительность второго рабочего 4/5х. А их общая производительность при совместной работе складывается и при этом равна 1/15:Решаем полученное уравнение. Для этого умножаем каждый член уравнения на 15х и получаем:

15 + 12 = х

х = 27

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Именно это мы и обозначали за Х. Следовательно, первый рабочий выполнит всю работу, работая один, за 27 часов.

Ответ: 27 часов.

Теперь разберем, как эту же задачу можно решить с помощью системы уравнений.

Решение. Способ 2:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Обозначим производительность труда первого рабочего за х1, а производительность второго рабочего – за х2. Следовательно, их общая производительность равна х1 + х2. А их общая работа, выполненная за 15 часов, равна 15 (х1 +  х2) = 1.

Также по условию задачи известно, что одинаковое количество работы первый работник выполняет за 4 часа (т.е. его работа равна 4х1), а второй работник за 5 часов (т.е. его работа равна 5х2). Таким образом:

4х1 = 5х2

2. Сведем в систему уравнений, полученные в первом пункте уравнения:Из второго уравнения выразим х1 = 5х2 / 4 и подставим в первое уравнение:

15 * (5х2 / 4) + 15 х2 = 1

75 х2 / 4 + 15 х2 = 1

Умножаем обе части уравнения на 4:

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Производительность труда первого рабочего мы обозначали за х1. Вся работа равна 1. Следовательно, время первого рабочего равно 1/ х1. Таким образом, время, за которое выполнит всю работу первый рабочий:Ответ: 27 часов.

Таким образом, мы решили задачу на совместную работу двумя способами: с помощью уравнения и с помощью системы уравнений. Выбирайте тот, который вам понятнее.

Надеюсь, мы достаточно подробно разобрали, как решать задачи на работу и теперь вы легко с ними справитесь.

Источник: https://yourrepetitor.ru/zadachi-na-rabotu-v-ege-2019-primery-s-resheniem/

Задачи на работу на ЕГЭ по математике

Задачи на производительность таблица

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: . Здесь — работа, — время, а величина , которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность.

Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

  1. , то есть работа производительность время. Из этой формулы легко найти или .
  2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
  3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.
  4. В качестве переменной удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.

1. Заказ на деталей первый рабочий выполняет на час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: . В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за . Тогда производительность первого рабочего равна (он делает на одну деталь в час больше). , время работы первого рабочего равно , время работы второго равно .

первый рабочий
второй рабочий

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, на меньше, чем , то есть

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

Дискриминант равен . Корни уравнения: , . Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их 🙂 Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: .

2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную удобно обозначить производительность. Пусть — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за .

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, . Отсюда .

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

.

Итак, первый рабочий за день выполняет всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится дней.

Ответ: .

3. Первая труба пропускает на литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом литров?

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.

Примем производительность первой трубы за . Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна , поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу

первая труба
вторая труба

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, . Составим уравнение:

и решим его.

Ответ: .

. Андрей и Паша красят забор за часов. Паша и Володя красят этот же забор за часов, а Володя и Андрей — за часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на движение. Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть — производительность Андрея, — производительность Паши, а — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

производительностьработа
Андрей
Паша
Володя
Вместе

Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
Аналогично,
Тогда

.
Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что

Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за часов.
Ответ: .

Читаем дальше: Задачи на проценты

Источник: https://ege-study.ru/zadachi-na-rabotu-na-ege-po-matematike/

Методическое пособие по решению задач на совместную работу и производительность труда

Задачи на производительность таблица

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №531 Красногвардейского района

Санкт-Петербурга

Методическое пособие по решению

задач на совместную работу

и производительность труда

подготовила

учитель математики

Смирнова Галина Васильевна

г. Санкт-Петербург
2015

К задачам на совместную работу относятся задачи, в которых идет речь о выполнении за какое-то время некоторого задания: изготовить детали, выкопать яму, напечатать рукопись, наполнить бассейн и тому подобное.

Во всех этих задачах участвуют три величины :

А – работа,

t — время

p- величина, которая называется производительностью труда.

Объем работы А может быть указан в конкретных единицах – 100 страниц, 500 деталей, Иногда нет никаких данных, позволяющих найти объем работы , например, сложили печь, построили дом, , наполнили бассейн. В этом случае работа принимается за единицу.

Производительность труда – это количество работы, сделанной за единицу времени (то есть аналог скорости- напечатать 10 страниц за час, изготовить 150 деталей в день)

Задачи на работу решаются с помощью формулы: А=р·t.

Из этой формулы следует, что для того чтобы найти производительность труда надо разделить работу на время, а чтобы найти время надо разделить работу на производительность.

Например, машинистка печатает за час 10 станиц. За сколько часов она напечатает рукопись из 120 страниц.

р=10 стр/час, А=120 стр., t = 120:10=12час.

В качестве переменной х удобно брать именно производительность.

При решении задач на совместную работу надо учитывать, что если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два трубы) ,то их производительности складываются. Например, А если известно, что первая машинистка печатает за час 20 страниц, а вторая 15, то при совместной работе они вместе напечатают 20+215=35 страниц.

Но при совместной работе нельзя складывать время работы. Например, если одна машинистка работая в одиночку, может напечатать рукопись за пять дней, а вторая за четыре дня, то работая вместе они напечатают ее быстрее чем каждая в отдельности и время совместной работы не будет равно 5+4.

Задания с решением.

1. Первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 896 деталей, на 4 часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 960 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

Решение.

Обозначим х- количество деталей, которое делает в час первый рабочий ( Именно эту величину и требуется найти в задаче).

Тогда производительность второго рабочего равна х-2

Составим таблицу

А-работа

t-время

р – производительность труда

Первый рабочий

896

х

Второй рабочий

960

х-2

Первый рабочий выполнил свой заказ на 4 часа раньше, чем второй свой заказ. Следовательно, время первого рабочего меньше времени второго на 4.

Составим уравнение

При условии, что х и х-2 числа положительные, получаем

Приводим подобные члены и делим обе части уравнения на (-4)

Получаем

Корни уравнения:

Так как производительность труда х положительна , то отрицательный корень не подходит.

Значит, первый рабочий делает в час 32 детали

Ответ 32

2. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба

Решение:

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано чему равен объем бассейна, значит, работу – наполнение бассейна – можем принять за единицу.

Обозначим х – время, за которое бассейн наполнит вторая труба( Именно эту величину и требуется найти в задаче).

Переведем время 3 часа 36 минут в часы.

3 часа 36 минут = часа=часа=часа

Составим таблицу

А-работа

t-время

р – производительность труда

Первая труба

1

6

Вторая труба

1

Первая и вторая труба вместе

1

При совместной работе производительности складываются,

Значит откуда

Ответ: 9

3.Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Решение

Обозначим х производительность первой трубы ( Именно эту величину и требуется найти в задаче).

Тогда производительность второй трубы равна х+1

Заполним таблицу

А-работа

t-время

р – производительность труда

Первая труба

110

х

Вторая труба

99

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Следовательно, время первой трубы на 2 больше времени второй трубы

Составим уравнение:

При условии, что х и х + 1 числа положительные, получаем

Приводим подобные члены и умножаем обе части уравнения на (-1)

Получаем

D=81+880=961 =312 Корни уравнения:

Так как производительность труда х положительна , то отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10.

4.Одна мельница может смолоть 38 ц пшеницы за 6 ч, а другая – 96 ц за 15 ч, третья – 35 ц за 7 ч. Как распределить 133 т пшеницы между мельницами, чтобы они мололи зерно в течение одного и того же времени?

Решение.

По условию задачи первая мельница за 1 час может смолоть ц пшеницы, вторая – ц , третья – ц.

Пусть каждая мельница работает в течение часов. Тогда за часов первая мельница смолотит ц, вторая – ц, третья – ц.

По условию задачи они должны смолоть 1330 ц пшеницы.

Составим уравнение

.

Значит, на первую мельницу следует отправить ц, на вторую –

ц, на третью – ц.

Ответ:475, 480, 375 .

Задания для самостоятельного решения

  1. Заказ на 154 детали первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 3 детали больше?

  2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

  3. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

  4. Одна мельница может смолоть 38ц пшеницы за 6ч, другая – 96ц за 15ч, третья – 35ц за 7ч. Как распределить 133т пшеницы между мельницами, чтобы они мололи зерно в течение одного и того же времени?

  5. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

  1. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

  2. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды

  3. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

  4. Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвертая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4ч; первая, третья и четвертая – за 3ч. Если же будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6ч. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

  5. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

  6. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

  7. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

  8. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

  9. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

  10. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

  11. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба

  12. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

  13. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

  14. Первая труба наполняет бак объемом 570 литров , а вторая труба наполняет бак объемом 530 литров .Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 4 литра воды больше, чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если баки были наполнены за одно и то же время.?

Источник: https://infourok.ru/metodicheskoe-posobie-po-resheniyu-zadach-na-sovmestnuyu-rabotu-i-proizvoditelnost-truda-640665.html

Задачи на работу (ЕГЭ-2021)

Задачи на производительность таблица

Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает \( \displaystyle 25\) литров в час, а первая \( \displaystyle \left( x+5 \right)=30\) литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?

Первая труба пропускает \( \displaystyle 30\) литров в час, а вторая \( \displaystyle 25\) литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом \( \displaystyle 450\) литров, работая вместе?

Решение:

Чему равна производительность первой трубы? \( \displaystyle 30\) литров в час.

А второй? \( \displaystyle 25\).

А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что \( \displaystyle 30+25=55\). Ведь за \( \displaystyle 1\) час первая труба нальет \( \displaystyle 30\) литров, и за этот же час вторая нальет \( \displaystyle 25\) литров. Теперь мы можем легко найти искомое время:

\( \displaystyle t=\frac{450}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}=\frac{450}{30+25}=\frac{450}{55}=\frac{90}{11}\)

Ответ: \( \displaystyle \frac{90}{11}\)

На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:

При совместной работе производительности складываются.

Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.

Пример 4

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за \( \displaystyle 6\) часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на \( \displaystyle 5\) часов меньше, чем второй?

Решение:

Примем всю работу за \( \displaystyle 1\) (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).

Пусть первая бригада может вспахать поле за \( \displaystyle x\) часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за \( \displaystyle \left( x+5 \right)\) часов.

Производительность первой бригады, таким образом: \( \displaystyle \frac{1}{x}\) , а второй – \( \displaystyle \frac{1}{x+5}\).

То есть их общая производительность была \( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\).

По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за \( \displaystyle 6\) часов. То есть:

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5} \right)}=6\\или\\\frac{1}{6}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\end{array}\)

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти \( \displaystyle x\):

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{6}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\\\frac{1}{6}=\frac{1\cdot \left( x+5 \right)}{x\left( x+5 \right)}+\frac{1\cdot x}{x\left( x+5 \right)}\\\frac{1}{6}=\frac{x+5+x}{x\left( x+5 \right)}\\x\left( x+5 \right)=6\left( 2x+5 \right)\\{{x}{2}}+5x=12x+30\\{{x}{2}}-7{x}-30=0\end{array}\)

По теореме Виета:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-30\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=10\\{{x}_{2}}=-3\end{array} \right.\)

Получается, что первая бригада вспахала бы поле за \( \displaystyle 10\) часов, если работала в одиночку.

Ответ: \( \displaystyle 10\).

Пример 5

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за \( \displaystyle 15\) дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за \( \displaystyle 4\) дня делает столько же, сколько второй за \( \displaystyle 5\) дней?

Решение:

Обозначим за \( \displaystyle {{x}_{1}}\) и \( \displaystyle {{x}_{2}}\) – производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за \( \displaystyle 1\).

Нам нужно найти \( \displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}\).

Тогда по условию задачи:

\( \displaystyle 15\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1\)

Кроме того, в условии сказано, что за \( \displaystyle 4\) дня первый рабочий делает столько же, сколько и второй за \( \displaystyle 5\) дней, то есть:

\( \displaystyle 4{{x}_{1}}=5{{x}_{2}}\)

Составим и решим систему:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}15\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1\\4{{x}_{1}}=5{{x}_{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{{x}_{1}}+15{{x}_{2}}=1\\4{{x}_{1}}=5{{x}_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \left| \cdot 3 \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{{x}_{1}}+15{{x}_{2}}=1\\12{{x}_{1}}=15{{x}_{2}}\end{array} \right.\)

Подставим из второго уравнения системы \( \displaystyle 15{{x}_{2}}\) в первое и решим его:

\( \displaystyle \begin{array}{l}15{{x}_{1}}+12{{x}_{1}}=1\\27{{x}_{1}}=1\end{array}\)

Нам нужно найти \( \displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}\). Так выразим его!

\( \displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}=27\)

Ответ: \( \displaystyle 27\).

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 6

На изготовление \( \displaystyle 600\) деталей первый рабочий тратит на \( \displaystyle 10\) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление \( \displaystyle 500\) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в \( \displaystyle 1000\) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на \( \displaystyle 5\) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят \( \displaystyle 1000\) деталей, то есть: \( \displaystyle \frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}\).

Значит, нужно найти \( \displaystyle {{P}_{1}}\) и \( \displaystyle {{P}_{2}}\).

Первый рабочий за час делает на \( \displaystyle 5\) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – \( \displaystyle x-5\).

\( \displaystyle 600\) деталей первый рабочий делает за \( \displaystyle {{t}_{1}}\) часов, а \( \displaystyle 500\) таких же деталей второй рабочий делает за \( \displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10\) часов.

То есть: \( \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{600}{x},\ a\ {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=\frac{500}{x-5}\).

Приравняв \( \displaystyle {{t}_{1}}\), получаем уравнение:\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{600}{x}=\frac{500}{x-5}-10\\\frac{600}{x}+10=\frac{500}{x-5}\\\frac{600+10x}{x}=\frac{500}{x-5}\\\left( 600+10x \right)\left( x-5 \right)=500x\\600{x}-3000+10{{x}{2}}-50x=500x\\10{{x}{2}}+50{x}-3000=0\\{{x}{2}}+5{x}-300=0\end{array}\).По теореме Виета подобрать корни не просто, поэтому решим через дискриминант:

\( \displaystyle \begin{array}{l}D={{b}{2}}-4ac={{5}{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -300 \right)=25+1200=1225={{35}{2}}\\x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm 35}{2}=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=15\\{{x}_{2}}=-20\end{array} \right.\end{array}\).

Производительность первого рабочего – \( \displaystyle 15\) деталей в час, а второго – \( \displaystyle \left( x-5 \right)=15-5=10\) деталей в час.

Значит, их общая производительность \( \displaystyle 15+10=25\) деталей в час. И партию на \( \displaystyle 1000\) деталей они изготовят за \( \displaystyle \frac{1000}{25}=40\) часов.

Ответ: \( \displaystyle 40\)

Источник: https://youclever.org/book/zadachi-na-rabotu-1/

Задачи на выполнение работ

Задачи на производительность таблица

Справочник по математикеАлгебраЗадачи на составление уравнений
Производительность труда
Примеры решения задач на выполнение работ

      В задачах на выполнение работ, когда человек или механизм выполняет некоторую работу, причем выполняет её так, что за равные промежутки времени выполняются равные объемы работы, используется следующее важное понятие.

      Производительностью труда называют объем работы, выполняемой человеком или механизмом за единицу времени.

      Если   A   – объем работы, а   t   – время, за которое человек или механизм выполняет эту работу, то производительность труда выражается по формуле

      Производительность труда в задачах на выполнение работ играет роль скорости в задачах на движение.

Примеры решения задач на выполнение работ

      Задача 1. (РЭА) Каждый из двух самосвалов перевез по   600   тонн груза. Известно, что первый самосвал приступил к работе на   4   дня позже второго самосвала и перевозил ежедневно на   5   тонн груза больше, чем второй самосвал. Сколько тонн груза перевозил ежедневно каждый самосвал, если они закончили работу одновременно?

      Решение. Введем следующие обозначения:

        x   – производительность первого самосвала, т.е. количество тонн груза, который перевозил первый самосвал за   1   день;

        y   – производительность второго самосвала, т.е. количество тонн груза, который перевозил второй самосвал за   1   день.

      Тогда

      – количество дней, за которое первый самосвал перевёз   600   тонн груза;

      – количество дней, за которое второй самосвал перевёз   600   тонн груза.

      С помощью введенных обозначений условие задачи можно записать в форме следующей системы из двух уравнений с двумя неизвестными   x , y :

(1)

      Для решения системы уравнений (1) выразим   x   через   y   из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение системы:

      Далее получаем:

      Поскольку производительность не может быть отрицательной, то первый случай должен быть отброшен.

      Во втором случае получаем

      Ответ. Первый самосвал перевозил ежедневно по   25   тонн, второй самосвал перевозил ежедневно по   20   тонн.

      Задача 2. (МФТИ) Бассейн, к которому подведены две трубы, через первую трубу наполняется на   5   часов быстрее, чем через вторую.

За   5   часов через первую трубу и за   4   часа через вторую трубу проходит в сумме   20   кубометров воды.

 Если сначала открыть вторую трубу, а через   8   часов открыть ещё и первую трубу, то бассейн будет заполнен за   18   часов. Каков объем бассейна и сколько воды проходит через каждую трубу за   1   час?

      Решение. Введем следующие обозначения:

        x   – производительность первой трубы, т.е. количество кубометров воды, проходящих через первую трубу за   1   час;

        y   – производительность второй трубы, т.е. количество кубометров воды, проходящих через вторую трубу за   1   час;

        V   – объём бассейна в кубометрах.

      Тогда

      – время, выраженное в часах, за которое заполняет бассейн первая труба,

      – время, выраженное в часах, за которое заполняет бассейн вторая труба.

      С помощью введенных обозначений условие задачи можно записать в форме следующей системы из трех уравнений с тремя неизвестными   x , y , V :

(2)

      Подставляя в первое уравнение системы (2) выражение переменной   V   через переменные   x   и   y   из третьего уравнения системы, получаем систему уравнений

(3)

      Преобразуем первое уравнение системы (3):

      Если ввести обозначение

то уравнение

можно записать в виде

(4)

      Решим уравнение (4):

      Поскольку отношение   s   производительностей труда   x   и   y   не может быть отрицательным, то первый случай должен быть отброшен.

      Во втором случае получаем:

      Подставим выражение (5) во второе уравнение системы (3):

      Следовательно,

      Ответ. Через первую трубу за   1   час проходит   2,4   кубометра воды, через вторую трубу за   1   час проходит   2   кубометра воды, объём бассейна равен   60   кубометрам.

      Задача 3. (МГТУ) Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за   30   дней. Работа так же может быть выполнена, если первые   6   дней рабочие будут работать вместе, а после этого первый рабочий   40   дней будет работать один. За сколько дней каждый из рабочих выполнит эту работу, работая один?

      Решение. Введем следующие обозначения:

        x   – производительность первого рабочего, т.е. объем работы, который выполняет первый рабочий за   1   день;

        y   – производительность второго рабочего, т.е. объем работы, который выполняет второй рабочий за   1   день;

        V   – объём всей работы.

      Тогда

     – время, выраженное в днях, за которое выполняет весь объем работы первый рабочий, работая один;

     – время, выраженное в днях, за которое выполняет весь объем работы второй рабочий, работая один.

      С помощью введенных обозначений условие задачи можно записать в форме следующей системы из двух уравнений с тремя неизвестными   x , y , V :

(6)

      По условию задачи мы должны из системы уравнений (6) найти величины

  и  

      Для того, чтобы это сделать, разделим каждое из уравнений системы (6) на   V :

(7)

      Вводя обозначения

(8)

запишем систему (7) в виде

(9)

     Решим систему (9):

      Из соотношений (8) находим интересующие нас величины  и :

      Ответ. Первый рабочий, работая один, выполнит работу за   50   дней, второй рабочий, работая один, выполнит работу за   75   дней.

      Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки»,а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

      Приемы, используемые для решения задач на смеси, сплавы и растворы, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на смеси, сплавы и растворы».

      С примерами решения задач на движение можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».

      С методами решения систем уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями» и в нашем учебном пособии «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

     С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/job.htm

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.